241223 SWEA 논리와 증명

명제 참 거짓은 이해하기 쉽지 않았다.

A면 B다 라는 명제(A -> B)에서 A가 거짓이면 무조건 참이 된다는 점이라든지.

그래도 어떻게든 이해했(다고 생각하)고 넘어갔더니 이젠 공식같은 것들도 있다.

분배법칙이니 결합법칙이니.

 

앞으로도 수학적으로 배울 게 많을 것 같다.

 

1. 명제관련

p -> q 에서 진리표는 다음과 같다.

p	q	p -> q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

 

또한 다음 기호들의 뜻 또한 정리해둔다. (입력은 ㄷ 한자로 가능.)

∧ : 논리곱. And.

∨ : 논리합. Or

∀x : 모든 x

∃x : 어떤 x

 

참고 : 논리 기호 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

 

2. 명제식을 변형하는 공식

이름	공식
항등 법칙	p ∧ T = p p ∨ F = p
지배 법칙	p ∨ T = T p ∧ F = F
멱등 법칙	p ∨ p = p p ∧ p = p
이중 부정 법칙	~(~p) = p
교환 법칙	p ∨ q = q ∨ p p ∧ q = q ∧ p
결합 법칙	(p ∨ q) ∨ r = p ∨ (q ∨ r) (p ∧ q) ∧ r = p ∧ (q ∧ r)
분배 법칙	p ∨ (q ∧ r) = (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) p ∧ (q ∨ r) = (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
드 모르간의 법칙	~(p ∧ q) = ~p ∨ ~q ~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q
흡수 법칙	p ∨ (p ∧ q) = p p ∧ (p ∨ q) = p
부정 법칙	p ∨ ~p = T p ∧ ~p = F

 

외우면 문제를 빨리 해결할 수 있을 것 같다.

그래도 이해해두고 문제 많이 풀다보면 익숙해지지 않을까?

 

참고 : 동치 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

 

3. 증명 문제

Q. n이 홀수이면 n^2+n이 짝수임을 증명하라.

이 문제에서 n(n+1)에서 홀수+1은 짝수이며, 짝수에는 홀수를 곱해도 짝수를 곱해도 짝수이므로 n^2+n은 짝수이다.

라고 해도 맞는 거 아닌가? 하고 생각을 했지만, GPT와의 고찰을 통해 이하의 이해를 얻음.

 - 홀수*짝수의 결과는 짝수다.

  이는 "직관적 해석"이며, 틀린 답은 아니며, 이미 증명된 사실이지만 수식적 정의로 바로 드러나지 않음.

 - n = 2k+1 을 이용하여 풀이.

  m = 2j(j는 정수) 일 경우 m은 짝수, n = 2k+1(k는 정수)일 경우, n은 홀수. 라는 것이 이미 증명된 사실이며, 수식적 정의로도 바로 드러남.

그렇기에 후자를 이용해서 풀이해야 한다고 이해.

또한 변수에 제한을 거는 것 또한 중요하다는 것을 느낌. "n은 홀수"라는 명제가 있으니 큰 문제가 아닐 수도 있지만, k에 실수를 넣거나 음수를 넣은 풀이 과정이나 결과가 적힐 수도 있으니 애초에 k는 정수임을 확실히 하는 것이 좋을듯.

 

4. 정리

문제 하나를 푸는 데도 고찰이 많아지고 이해하기 쉽지 않다.

아직 논리적 사고가 부족한 것이라는 증거겠지.

부트캠프 들어가기 전에 이조차 공부를 안해뒀다면, 들어갔을 때 얼마나 힘들지 상상이 안되니 입과 전까지 공부좀 해둬야겠다는 생각이 든다.